无入渗潜水含水层地下水向完整河渠稳定流动
（1）平面上流线平行隔水底板水平的潜水运动
这里所讨论的隔水底板水平且平面上流线平行的潜水含水层中地下水运动（图3-1-2），其条件除了将等厚的承压含水层改为i＝0 潜水层之外，其他都与上节相同。这时的潜水面已不是平面，而是如图3-1-2所示的上凸曲线（为什么？请读者分析）。此时，水力坡度沿流向不再是常量，而是沿流向增大。显然，此条件下属于剖面二维流动 。这种条件下过水断面已不是平面，而是曲面。H与H＋ΔH两过水断面间的流线不等长，即Δs2>Δs1，从而J2<J1（图3-1-3）。可见，水力坡度（J）不仅沿流向变化，而且沿过水断面也不同，这给解析解带来了困难。如果允许引入Dupuit假定而忽略垂向分流速（即令 ），将铅垂面视为等水头面，则可把二维（x，z）流问题降为一维流（x）处理。此时，我们可以引进Dupuit微分方程（2-5-2）式
地下水动力学（第五版）
式中的 为断面的水力坡度，它沿流向是变量。对（3-1-9）式可以采用简单的定积分法求解。首先分离变量
地下水动力学（第五版）
图3-1-2 隔水底板水平的潜水运动
图3-1-3 水力坡度沿过水断面的变化
由已知潜水位的断面1到已知潜水位的断面2作积分，即x由0→l，h由h1>h2，得
地下水动力学（第五版）
依条件K＝C（常数），为无入渗、无蒸发的稳定流动，故各断面的单宽流量相等q＝C（常数），则
地下水动力学（第五版）
地下水动力学（第五版）
积分后得流量方程为
地下水动力学（第五版）
或
地下水动力学（第五版）
同样采用改变积分限的方法求任意断面的水位值，即对（*）式积分，x由0→x，h由h1→h。即
地下水动力学（第五版）
得
地下水动力学（第五版）
以（3-1-10）式代入上式得到水头线方程为
地下水动力学（第五版）
式中只有h和x是变量。因此，给定一个x值，就可得到一个相应的h值，可在x-h直角坐标系上得到一个点，计算一定的点数，它的连线就是该水流的水头线（对于潜水含水层也称浸润曲线）。
1）由该方程可知，此水头线的特点：
①它是以x轴为对称轴的抛物线（上半支的一部分手差手）。
②它与渗透系数K值的大小无关。
2）上述所得的（3-1-10）式和（3-1-11）式是基于Dupuit微分方程和水均衡原理直接通过定积分获得的解。我们也可以从布西涅斯克微分方程（2-5-3）式和它的定解条件构成的数学模型出发获得解，即
地下水动力学（第五版）
将（3-1-12）式中的微分方程两次积分后得
地下水动力学（第五版）
由（3-1-13）式和（3-1-14）式所示的边界条件，代入（3-1-15）式求C1和C2值，而最终也可得到（3-1-10）式和（3-1-11）式。
（2）平面上流线平行隔水底板倾斜的潜水运动
隔水底板向上游倾斜（i<0，逆坡）且倾角较小的均质含水层，若渗流宽度不变，则渗流厚度沿流向变小（当i<0的条件下，渗流厚度能沿流向变大吗），水头线是上凸的曲线（图3-1-4）。从剖面上的流线分析，水流有水平和垂直两方向的分流速，属于剖面二维流。庆绝若允许引进Dupuit假定，忽略垂向分流速，则水流可简化为一维流动计算。
图3-1-4 隔水底板倾斜的潜水流动
沿水平面方向取x轴，它和底板夹角为a；H轴和井轴一致。基准面可取在毕嫌底板以下任意高度的水平面（0-0）处。当a<20°时，渗流长度可以用水平孔距l来近似表示，水力坡度表示为 。我们仍采用积分法来求解。
根据Dupuit微分方程
地下水动力学（第五版）
分离变量后，由断面1至断面2积分
地下水动力学（第五版）
式中由于h＝h（x），所以不能提到积分号前，且h与x之间的函数关系未知，无法积分。于是，根据积分中值定理近似求解。令
地下水动力学（第五版）
式中：hm是1、2断面之间渗流的平均厚度，数值介于h1和h2之间，将（**）式代入（*）式得
地下水动力学（第五版）
移项后得
地下水动力学（第五版）
近似取
地下水动力学（第五版）
于是得流量方程为
地下水动力学（第五版）
（3-1-16）式同样适用于i>0（正坡）的条件。
下面讨论水头线方程：写1～2渗流段的流量公式
地下水动力学（第五版）
写1～x渗流段的流量公式
地下水动力学（第五版）
式中：x为任意断面与l断面间的距离；h和H分别为相应于距离x处断面上的含水层厚度和水头值。依水均衡原理
地下水动力学（第五版）
则
地下水动力学（第五版）
上式中，h与H均未知，无法直接解得。根据
地下水动力学（第五版）
代入上式得水头线方程为
地下水动力学（第五版）
式中：z为x断面的底板标高。
地下水动力学（第五版）
式中：z1、z2分别为1、2断面底板标高。这样，由（3-1-17）式可求得任意点的水头值，从而得到相应的水头线。由方程可看出水头线形状和K值无关。
（3）平面上流线呈辐射状隔水底板水平的潜水运动
隔水底板水平（i＝0），渗流宽度沿流向呈线性变化且B1>B2。这时渗流断面逐渐变小，水头线为上凸曲线（图3-1-5）。根据流线分析，水流在x、y、z三个方向都有分流速，若忽略垂向分流速，则可将其简化为平面二维流问题。根据Dupuit微分方程
图3-1-5 平面流线呈辐射状的潜水流
地下水动力学（第五版）
其中
地下水动力学（第五版）
因为i＝0， 可用 代替，则
地下水动力学（第五版）
分离变量，并由断面1至断面2积分
地下水动力学（第五版）
式中：Q、K、B1、B2都是常数，则方程积分后得流量公式
地下水动力学（第五版）
其中，
地下水动力学（第五版）
求水头线方程，可利用1～2断面和1～x断面分别写Q1和Q2的流量方程，再根据水均衡原理，Q1＝Q2＝Q得到水头线方程式为
地下水动力学（第五版）
（4）渗流断面复杂变化的潜水运动
自然界的潜水层，大多数的隔水底板倾斜且并不平整，含水层宽度非线性变化，这种情况如图3-1-6所示，属于三维流动。若允许忽略垂向分流速，则可利用Dupuit微分方程
地下水动力学（第五版）
图3-1-6 渗流断面复杂变化的潜水流
分离变量并积分得流量公式为
地下水动力学（第五版）
同样，可分别写出1～2和1～x断面的Q1和Q2的流量方程，而Q1＝Q2＝Q，则得水头线方程为
地下水动力学（第五版）
式中：K、A1、A2、H1及H2为已知，若能求得任意断面的A值，可由（3-1-21）式求对应断面水头值。计算时，可将A＝f（x）近似视为单调函数关系，并简化成线性关系求解。
取布
A
